ما هي الأعداد النرجسية (عدد أرمسترونغ) ؟

~~ ⟬ السلام عليكم ⟭ ~~

 

اهتم علماء الرياضيات على مرِّ العصور بتقصي الأعداد التي تجمعها خواص واحدة أو ميِّزات متفرِّدة، ثم ميّزوا هذه الأعداد بأسماء خاصة ولا زالوا حتى الآن يعملون على اكتشافها والإستفادة من خواصها، ومن بين هذه الأعداد العدد النرجسي (Narcissistic number) ويُسمَّى عدد أرمسترونغ (Armstrong number)، إضافةً إلى ذلك يُسمى العدد المثالي الزائد (plus perfect number).

تعريف العدد النرجسي :

في الحقيقة إنَّ العدد النرجسي هو من أكثر الأعداد إثارة في نظرية الأعداد، ولنعرِّفه نفرض أنه لدينا عدد مكونٌ من n منزلة ؛ يكون هذا العدد نرجسيًّا إذا كان يساوي مجموع أرقامه مرفوعة للقوة n علمًا بأنَّ n عدد طبيعي، وبصيغة رياضياتية فإن العدد A المكوّن من n منزلة هو عدد نرجسي إذا أمكن كتابته بالطريقة التالية أدناه :

إذ إنَّ Ai هو الرقم الموجود في المنزلة i من العدد A... لنستعرض معًا بعض الأمثلة:

مثال 1 :

العدد 3 هو عدد نرجسي، لأنه يُكتَب بالطريقة:

أي أنه عدد مكونٌ من منزلة واحدةٍ ويكتب على صورة قوة للعدد 1.

من هذا المثال نستطيع أن نستنتجَ أن الأعداد من 0 حتى 9 هي أعداد نرجسية.

مثال 2 :

العدد 153 هو عدد نرجسي، لأنه يكتب على الشكل :

n في هذه الحالة هي العدد 3.

عدد الأعداد النرجسية : 

حتى الآن يوجد في نظام العد العشري 88 عددًا نرجسيًّا، وبرهن ديك وينتر D. Winter عام 1994 أنه لايوجد عدد نرجسي يتألف من أكثر من 39 منزلة عشرية (4)... 

إذ إنَّ أصغر الأعداد النرجسية هو العدد 0، وأكبرها عدد يتألف من 39 منزلة هو العدد :

115132219018763992565095597973971522401

ونستطيع أن نستعرضها في الجدول التالي:

الأعداد النرجسية (يتألف من n منزلة عشرية)	n
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	1
153, 370, 371, 407	3
1634, 8208, 9474	4
54748, 92727, 93084	5
548834	6
1741725, 4210818, 9800817, 9926315	7
24678050, 24678051, 88593477	8
146511208, 472335975, 534494836, 912985153	9
4679307774	10
32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914	11
28116440335967	14
4338281769391370, 4338281769391371	16
21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035	17
1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826	19
63105425988599693916	20
128468643043731391252, 449177399146038697307	21
21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943	23
174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093	24
1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938	25
121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765	27
14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295	29
1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915	31
17333509997782249308725103962772	32
186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991	33
1122763285329372541592822900204593	34
12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922	35
1219167219625434121569735803609966019	37
12815792078366059955099770545296129367	38
115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401	39

المصادر :

▪ Madachy, J. S. "Narcissistic Numbers." Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 163-173, 1979.

▪ Feser, Victor G. “NARCISSISTIC NUMBERS.” Pi Mu Epsilon Journal, vol. 5, no. 8, 1973, pp. 409–414. JSTOR, Available from: here

▪ Roberts, J. The Lure of the Integers. [Book]; Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 35, 1992

▪ Robert A. Nowlan, Master of mathematics; [Book]; Published 2017, pp. 184-189.